Данная работа посвящена исследованию ассоциированных модулей и порядков Галуа для вполне разветвленных расширений полей дискретного нормирования. Основное внимание уделяется явным вычислениям и построению базисов для этих модулей, в частности в случае элементарных абелевых расширений степени 𝑝^2.

В рамках данной работы изучаются относительно регулярные алгебры, образованные пересечениями языков с фиксированным регулярным языком R. Авторами было доказано, что для любой атомной булевой алгебры существует относительно регулярная изоморфная ей. Для разрешимых языков исследованы сложности задач обычной и бесконечной регулярной реализуемости. В случае если регулярная алгебра изоморфна алгебре регулярных языков доказывается существование вычислимого изоморфизма.

В работе исследовался вопрос о связи локальной когерентности категорий, связанных серией сопряженных функторов, например данными склейки абелевых категорий, с некоторыми дополнительными свойствами. 

Подобные вопросы поднимались в литературе, например когерентность кольца эндоморфизмов квазипроективного модуля, в терминах свойства модулей над базовым кольцом или когерентность гомотопа.

Развитая техника позволяет обобщить эти результаты.

В данной работе рассматривается проблематика того, до какой степени определенные геометрические свойства отображения из отрезка вещественной прямой в метрическое пространство характеризуются аналогичными свойствами композиций этого отображения со всевозможными вещественнозначными липшицевыми функциями на этом пространстве. В рамках такой постановки устанавливаются характеризации для принадлежности отображения описанного типа ряду функциональных классов первого порядка.

В своем докладе я бы хотел дать обзор имеющихся результатов по задаче о покрытии полосками, а также рассказать об одной модификации этой задачи, которой я занимался в рамках дипломной работы, обсудить полученные результаты и возникшие проблемы.

Спаривание Вейля на эллиптической кривой важно для анализа уязвимостей и конструирования криптографических протоколов. Чтобы спаривание Вейля имело требуемые для приложений свойства, необходимо его модифицировать с помощью так называемого скручивающего эндоморфизма (distortion map). Доклад основан на работе arXiV:2601.09904, в которой собраны, обобщены и уточнены известные ранее результаты о существовании скручивающих эндоморфизмов, а также представлены новые подходы к их конструированию.

Будет введено расстояние, аналогичное расстоянию Громова-Хаусдорфа, основанное на определении квазиизометрии. Оно позволяет сравнивать более широкий класс некомпактных пространств. Будут исследованы свойства, сохраняющиеся при переходе к пределу по данному расстоянию, а также свойства класса сепарабельных метрических пространств, снабженного данным расстоянием.

А.И. Ефимов расширяет контекст К-теории: К-функтор можно рассматривать, как инвариант стабильных представимых дуализируемых ∞-категорий. Такое расширение представляет интерес для аналитической геометрии в смысле Клаузена-Шольце.

В еще не опубликованной работе Ефимов передоказывает и обобщает классические теоремы К-теории для дуализируемых t-категорий. В данной работе изучаются категорные конструкции с дуализируемыми t-категориями и приложения к аналитической геометрии.

Известная теорема Фрейденталя--Хопфа гласит, что конечно порожденная группа G может иметь 0,1,2 или бесконечное число концов. Данный факт можно выразить через размерность первых ZG--когомологий группы G, их размерность равна e(G) - 1, где e(G) -- число концов. В рамках работы мы получим аналогичный результат о грубых гомологиях группы. Причем, оказывается, что верно куда более общее утверждение о размерностях высших грубых групп гомологий для гомогенных пространств.

Работа посвящена переносу функториальных методов алгебраической геометрии Гротендика в контекст дифференциальной геометрии. Построен максимальный субканоничный сайт открытых покрытий на категории гладких локусов. Соответственно построен топос пучков, обеспечивающий категорный инструментарий для работы с бесконечномерными пространствами, включая пространства отображений между гладкими многообразиями (вложений, иммерсий, распределений и пр.) представляющих большой классический интерес.

В геометрической топологии важную роль играет assembly map A-теории Вальдхаузена, который можно понимать как левое расширение Кана вдоль подкатегории стягиваемых пространств.

Благодаря недавним результатам А.Ефимова о К-теории больших $$\infty$$-категорий, А.Бартельс, А.Ефимов и Т.Николаус построили "категорификацию" assembly map через алгебраическую К-теорию.

Моя работа посвящена обобщению этой теоремы для послойного assembly map, ассоциированного расслоению компактных многообразий

Рассматриваются полугруппы, состоящие из дизъюнктного объединения двух групп, связанных гомоморфизмом. Изучаются дифференцирования над алгебрами таких полугрупп.
Используется категорный метод, предложенный в работах А.А. Арутюнова, А.С. Мищенко и А.С. Штерна для изучения дифференцирований в групповых алгебрах. Строится подходящая категория и дифференцирования описываются в терминах характеров - комплекснозначных функций на морфизмах, уважающих композицию.

Данная работа посвящена исследованию алгебраической структуры факторалгебры полиномов над конечным полем F_q. В работе продемонстрировано, что порядок автоморфизма, определяющий разложение полинома на неприводимые множители, может быть найден методом квантовой оценки фазы. Представлена реализация квантовой схемы для малых полей и проанализированы требуемые вычислительные ресурсы. Полученные результаты демонстрируют потенциал ускорения классического DDF-этапа факторизации.

Блуждание на ориентированной решетке это процесс, для которого допустимые направления шагов в каждом узле предопределены(детерминированным или случайным образом). В работе получено достаточное условие возвратности блуждания на двумерной ориентированной решетке, а также способ перенести результаты о возвратности случайного блуждания со случая частично ориантированной решетки на случай ориентированной решетки.