В работе изучается геометрическая структура пространства квантовых каналов (вполне положительных отображений, сохраняющих след). Описана естественная стратификация этого пространства, полученная с помощью факторизации комплексного многообразия Штифеля по специальному действию унитарной группы. Исследована связь полученной стратификации с динамикой, порождённой мастер-уравнением типа Горини-Коссаковского-Сударшана-Линдблада.

В работе рассматривается вопрос о точности условий гладкости в теореме Сарда. Построен пример функции, принадлежащей классу $$ C^{1, \alpha}(\mathbb{R}^2) $$ для всех $$ \alpha \in (0,1) $$, у которой множество критических значений имеет положительную меру Лебега. Кроме того, показывается, что данная конструкция обобщается на многомерный случай: существует $$ F \in C^{n-1, \alpha}(\mathbb{R}^n) $$ (для всех $$ \alpha \in (0,1) $$) с положительной мерой множества критических значений.

В работе иследуются общеалгебраические структуры с несколькими операциями. Проводится полная классификация конечных таких структур и рассматриваются ограничения для бесконечного случая.

1) Рассматривается задача восстановления решения уравнения теплопроводности на (d-1)-мерной сфере по начальным данным, содержащим случайную ошибку. Предъявлен оптимальный метод восстановления и найдена погрешность оптимального восстановления.

2) Рассматривается задача восстановления значений линейного оператора по информации, содержащей ошибку, распределенную по нормальному заону. Предъявлен нелинейный метод восстановления, имеющий погрешность меньшую, чем оптимальный линейный метод.

В работе исследуется ландшафт задачи максимизации наблюдаемой замкнутого кубита с помощью импульсного управления. Для специальной системы доказано отсутствие ловушек (точек локального, но не глобального максимума функционала) в классе управлений «импульс-ожидание-импульс» для всех времен, меньших критического времени достижения произвольной эволюции системы. Для класса двухуровневых систем с помощью численных методов проведена классификация типа экстремума нулевого управления.

В работе рассматривается соответствие между проективными выпуклыми пятиугольниками и орбитами кубических дифференциалов. Показано, что орбиты квадратичных многочленов относительно линейных преобразований параметризуются комплексным числом, а орбиты пятиугольников относительно проективных преобразований параметризуются парой вещественных чисел. Ставится задача введения параметризации многоугольников комплексным числом и биекции между ним и числом, параметризующим многочлены. 

В работе приводится построение неразрешимой логики через моделирование инструкций машины Минского в аксиомах исчисления высказываний. Полученная логика содержит схему аксиом для закона слабого исключённого третьего, что достигается с помощью совмещения и модификации уже известных методов.

Работа посвящена оптимизации генерации однокубитных квантовых каналов при наличии когерентного и некогерентного управления. С использованием градиентного метода inGRAPE были построены замещающий канал и канал затухания фазы, численно подтверждены гипотезы о достаточности малого числа матриц плотности для генерации каналов ранга два. Исследована структура квантового ландшафта задачи генерации этих каналов.

В работе исследуется задача о числе квантовых состояний, необходимых для определения однокубитных квантовых каналов. Доказывается, что для любого однокубитного канала ранга два существует набор из трех квантовых состояний, по которому он определяется.

Рассматривается специальный класс квантовых каналов, называемых смешанно-унитарных, построенных с помощью проективного унитарного представления конечной группы. И рассматривается техника мажоризации, которая полезна для нахождения точной пропускной способности таких каналов. Найдены условия, при которых мы получаем точную оценку. Рассмотрен пример, основанный на проективно-унитарных представлениях абелевых групп.

Определенный интерес для изучения представляют
гиперповерхности без рациональных кривых.
В данной работе представлена программа для
проверки наличия рациональных прямых и коник на квартике в
трехмерном проективном пространстве, с помощью которой
получено несколько примеров таких поверхностей. А также
написана программа, с помощью которой построен пример
особой гиперповерхности с конечным количеством
рациональных кривых.

Данная работа посвящена исследованию укороченных систем нелинейных алгебраических уравнений в окрестности их особых точек. Известно, что в точках вырождения якобиана применение теоремы о неявной функции становится затруднительным, что требует использования специальных методов анализа. В работе применяется метод многогранника Ньютона, элементы градуированной геометрии и геометрия Минковского.

В работе исследуются две модификации атаки на протокол когерентного одностороннего распределения ключа (COW) в квантовой криптографии. В первой перехватчик получает неполную информацию о секретном ключе, что позволяет ему атаковать при меньших длинах линии связи. Во второй изучается изменение коэффициентов состояний после преобразования перехватчика и находится их оптимальный вид. Оба подхода приводят к построению более эффективных атак и уточнению верхней границы секретности протокола COW.