Исследуется локализованный волновой пакет — асимптотическое решение двумерного волнового уравнения, в начальный момент заданное функцией Бесселя. На базе канонического оператора Маслова и анализа динамики лагранжевых многообразий строится его эффективное представление. Доказано, что при большом начальном импульсе бесселева структура разрушается и пакет расплывается. При этом на многообразии возникают особенности типа складки и сборки, связанные с функциями Эйри и Пирси.

В настоящей работе получена параметризация для лагранжева многообразия, соответствующего случаю гипербол, которое имеет две компоненты связности. Исследуя типы особенностей такого многообразия, мы получили глобальную асимптотику в виде функции Эйри. Также используемый нами подход позволил получить асимптотику в виде функции Эйри для функций Матье. Отметим также, что все формулы приведены в параметрическом виде, что удобно с точки зрения их реализации на компьютере.

Рассматривается дифференциальное уравнение упругости для изотропной неоднородной среды с внешней силой вида $$F_0\left(\frac{x-\xi}{h}\right)\cos(\omega t)$$. Здесь $$x\in \mathbb{R}^3$$, $$h$$ - малый параметр, $$\omega\sim\frac1h$$, для общего случая пишется его асимптотическое решение в виде линейной комбинации канонических операторов Маслова на некоторых многообразиях, а также рассматриваются конкретные примеры сред.

Доклад посвящен геометрическому подходу к построению асимптотики вырожденной гипергеометрической функции (а также функции Уиттекера) с помощью обобщения метода ВКБ, основанного на теории канонического оператора Маслова и изучении типов особенности соответствующего лагранжева многообразия. Этот подход позволяет получить глобальную асимптотику для широкого класса значений параметров, в том числе соответствующих неограниченной функции Уиттекера.

$\mathrm{В\; работе\; исследуется\; одномерная\; стационарная\; задача\; рассеяния\; для\; уравнения\; Шредингера\; с\; потенциалом,\; содержащим\; гладкую\; составляющую\; и\; два\; точечных\; дефекта\; (дельта-потенциала).\; На\; основе\; теории\; самосопряженных\; расширений\; построена\; квазиклассическая\; асимптотика\; решения\; в\; надбарьерном\; режиме,\; при\; этом\; стандартный\; метод\; В.\; П.\; Маслова\; адаптирован\; для\; учета\; сингулярностей.\; Получены\; явные\; выражения\; для\; коэффициентов\; прохождения\; и\; отражения,\; описывающие\; влияние\; дефектов\; на\; процесс\; рассеяния. }$

Строится асимптотика от пространственно локализованного (не точечного) источника, движущегося по поверхности жидкости. Рассмотрены случаи постоянной и переменной глубины. В отличие от классической задачи о корабельных волнах, учитывается структура источника. Асимптотика равномерно пригодна внутри волнового клина и на его каустических границах (выражается через функции Эйри). Используется теория канонического оператора Маслова. Для дальней зоны получены упрощенные представления.

Исследован набег длинных волн на берег в рамках теории мелкой воды. Асимптотики линеаризованной системы строятся с помощью канонического оператора Маслова, что корректно описывает волну в точке вырождения. Проанализировано влияние условий Дирихле, Неймана, Робена и ограниченности энергии на коэффициент отражения и индекс Маслова. Для наклонного дна рассмотрена двумерная задача. Результаты уточняют границы применимости классических моделей прибрежных процессов.

Рассматривается задача Коши для трёхмерного уравнения Шрёдингера с точечным потенциалом (дельта-функцией), локализованным в точке $x_0$. Начальные данные представляют собой быстроосциллирующий волновой пакет с компактным носителем, расположенным на достаточном удалении от  $x_0$. 

Построено асимптотическое решение в виде суперпозиции падающей и рассеянной волн. Исследована зависимость структуры решения от геометрии носителя начальных данных. 

Рассматриваются стоячие волны в приближении мелкой воды в одномерном бассeйне с пологими берегами и с особенностью рельефа дна с характерным размером порядка $$ \mu \in [h^2, h]$$, где $$h$$ - длина волны.  Итогом работы являются построенные асимптотические собственные функции, равномерно зависящие от параметра $$\frac{\mu}{h}$$, и значения для рассмотренной задачи и исследование их свойств.

В данной работе показана взаимосвязь квазистационарных состояний и волн типа шепчущей галереи в подводной акустике на примере модельной задачи с углублением дна в форме цилиндра. Предложен метод нахождения собственных частот уравнения Гельмгольца для такой задачи.

Описана квазиклассическая асимптотика решения задачи Коши для уравнения Шрёдингера с потенциалом, имеющим локализованное возмущение ширины порядка \(h\) вблизи фиксированной точки \(x_0\). Начальное условие представляет собой быстро осциллирующий волновой пакет. Для построения асмимптотики рассматривается вспомогательная задача рассеяния на барьере. Для ее решения используется оператор монодромии. Коэффициенты прохождения и отражения в нестационарной задаче также зависят от времени.

В докладе будут обсуждаться распространяющиеся береговые волны, порожденные начальным условием, локализованным в окрестности берега.  В результате работы получены простые явные асимптотические формулы для береговых волн, распространяющихся вдоль берега.

В работе поставлена и решена начально-краевая задача для одномерного уравнения Клейна-Гордона на полуосях z>0, t>0.