Исследуется локализованный волновой пакет — асимптотическое решение двумерного волнового уравнения, в начальный момент заданное функцией Бесселя. На базе канонического оператора Маслова и анализа динамики лагранжевых многообразий строится его эффективное представление. Доказано, что при большом начальном импульсе бесселева структура разрушается и пакет расплывается. При этом на многообразии возникают особенности типа складки и сборки, связанные с функциями Эйри и Пирси.

В настоящей работе получена параметризация для лагранжева многообразия, соответствующего случаю гипербол, которое имеет две компоненты связности. Исследуя типы особенностей такого многообразия, мы получили глобальную асимптотику в виде функции Эйри. Также используемый нами подход позволил получить асимптотику в виде функции Эйри для функций Матье. Отметим также, что все формулы приведены в параметрическом виде, что удобно с точки зрения их реализации на компьютере.

Рассматривается дифференциальное уравнение упругости для изотропной неоднородной среды с внешней силой вида $$F_0\left(\frac{x-\xi}{h}\right)\cos(\omega t)$$. Здесь $$x\in \mathbb{R}^3$$, $$h$$ - малый параметр, $$\omega\sim\frac1h$$, для общего случая пишется его асимптотическое решение в виде линейной комбинации канонических операторов Маслова на некоторых многообразиях, а также рассматриваются конкретные примеры сред.

Доклад посвящен геометрическому подходу к построению асимптотики вырожденной гипергеометрической функции (а также функции Уиттекера) с помощью обобщения метода ВКБ, основанного на теории канонического оператора Маслова и изучении типов особенности соответствующего лагранжева многообразия. Этот подход позволяет получить глобальную асимптотику для широкого класса значений параметров, в том числе соответствующих неограниченной функции Уиттекера.

$\mathrm{В\; работе\; исследуется\; одномерная\; стационарная\; задача\; рассеяния\; для\; уравнения\; Шредингера\; с\; потенциалом,\; содержащим\; гладкую\; составляющую\; и\; два\; точечных\; дефекта\; (дельта-потенциала).\; На\; основе\; теории\; самосопряженных\; расширений\; построена\; квазиклассическая\; асимптотика\; решения\; в\; надбарьерном\; режиме,\; при\; этом\; стандартный\; метод\; В.\; П.\; Маслова\; адаптирован\; для\; учета\; сингулярностей.\; Получены\; явные\; выражения\; для\; коэффициентов\; прохождения\; и\; отражения,\; описывающие\; влияние\; дефектов\; на\; процесс\; рассеяния. }$

Строится асимптотика от пространственно локализованного (не точечного) источника, движущегося по поверхности жидкости. Рассмотрены случаи постоянной и переменной глубины. В отличие от классической задачи о корабельных волнах, учитывается структура источника. Асимптотика равномерно пригодна внутри волнового клина и на его каустических границах (выражается через функции Эйри). Используется теория канонического оператора Маслова. Для дальней зоны получены упрощенные представления.

Исследован набег длинных волн на берег в рамках теории мелкой воды. Асимптотики линеаризованной системы строятся с помощью канонического оператора Маслова, что корректно описывает волну в точке вырождения. Проанализировано влияние условий Дирихле, Неймана, Робена и ограниченности энергии на коэффициент отражения и индекс Маслова. Для наклонного дна рассмотрена двумерная задача. Результаты уточняют границы применимости классических моделей прибрежных процессов.

Рассматривается задача Коши для трёхмерного уравнения Шрёдингера с точечным потенциалом (дельта-функцией), локализованным в точке $x_0$. Начальные данные представляют собой быстроосциллирующий волновой пакет с компактным носителем, расположенным на достаточном удалении от  $x_0$. 

Построено асимптотическое решение в виде суперпозиции падающей и рассеянной волн. Исследована зависимость структуры решения от геометрии носителя начальных данных. 

Рассматриваются стоячие волны в приближении мелкой воды в одномерном бассeйне с пологими берегами и с особенностью рельефа дна с характерным размером порядка $$ \mu \in [h^2, h]$$, где $$h$$ - длина волны.  Итогом работы являются построенные асимптотические собственные функции, равномерно зависящие от параметра $$\frac{\mu}{h}$$, и значения для рассмотренной задачи и исследование их свойств.

В данной работе показана взаимосвязь квазистационарных состояний и волн типа шепчущей галереи в подводной акустике на примере модельной задачи с углублением дна в форме цилиндра. Предложен метод нахождения собственных частот уравнения Гельмгольца для такой задачи.

Описана квазиклассическая асимптотика решения задачи Коши для уравнения Шрёдингера с потенциалом, имеющим локализованное возмущение ширины порядка \(h\) вблизи фиксированной точки \(x_0\). Начальное условие представляет собой быстро осциллирующий волновой пакет. Для построения асмимптотики рассматривается вспомогательная задача рассеяния на барьере. Для ее решения используется оператор монодромии. Коэффициенты прохождения и отражения в нестационарной задаче также зависят от времени.

В докладе будут обсуждаться распространяющиеся береговые волны, порожденные начальным условием, локализованным в окрестности берега.  В результате работы получены простые явные асимптотические формулы для береговых волн, распространяющихся вдоль берега.

Рассмотрено абстрактное многомерное метрическое (евклидово) пространство, размерность которого является случайной положительной целочисленной величиной. Для иллюстрации, получены формулы для среднего значения и дисперсии диагонали единичного гиперкуба для трех модельных примеров распределения размерности пространства. В результате, среднее значение диагонали всегда имеет меньшее значение, т.е. сжимается, по сравнению со случаем фиксированной размерности, равной среднему значению размерности.

В работе поставлена и решена начально-краевая задача для одномерного уравнения Клейна-Гордона на полуосях z>0, t>0.